Ángulos internos de los polígonos

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°

90° + 60° + 30° = 180°	80° + 70° + 30° = 180°
¡En este triángulo es verdad!	Vamos a inclinar una línea 10° ... También funciona, porque un ángulo aumentó 10°, pero otro disminuyó 10°

Cuadriláteros (cuadrados, etc.)

(Un cuadrilátero es una figura de 4 lados)

90° + 90° + 90° + 90° = 360°	80° + 100° + 90° + 90° = 360°
Un cuadrado suma 360°	Vamos a inclinar una línea 10° ... ¡también suman 360°!
Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360°

Porque en un cuadrado hay dos triángulos

Los ángulos interiores de este triángulo suman 180°  (90°+45°+45°=180°)

... y los de este cuadrado360° ... ¡porque el cuadrado está hecho de dos triángulos!

Pentágono

Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que ... ... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540° Y si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108° (Ejercicio: asegúrate de que cada triángulo aquí suma 180°, y comprueba que los ángulos interiores del pentágono suman 540°)

La regla general

Así que cada vez que añadimos un lado más (de triángulo a cuadrilátero, a pentágono, etc) sumamos otros 180°al total:

			Si es regular...
Figura	Lados	Suma de los ángulos interiores	Forma	Cada ángulo
Triángulo	3	180°		60°
Quadrilátero	4	360°		90°
Pentágono	5	540°		108°
Hexágono	6	720°		120°
...	...	..	...	...
Cualquier polígono	n	(n-2) × 180°		(n-2) × 180° / n

La última línea puede ser un poco difícil de entender, así que vamos a ver un ejemplo.

Ejemplo: ¿Qué pasa con un decágono (10 lados)?

Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440° Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°

Ángulos que se forman a partir de dos líneas que se cortan en un punto

ÁNGULO DE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

En la figura siguiente tienes que las rectas r y s se cruzan:

Para hallar el ángulo que forman las rectas r y s no tengo más que trazar en el plano de la base una paralela a la recta r:

Nos encontramos en el caso anterior.

El ángulo que forman las rectas r y s es el ángulo que forman sus vectores directores.

Tenemos los vectores directores  y  y las rectas r y s  : 

El ángulo que forman las rectas o los vectores directores vale α.

Cuando estudiamos vectores aprendimos que el valor del ángulo que forman dos vectores tiene un valor escalar, nos tiene que dar un valor numérico porque ha de proporcionarnos  un valor real como son los radianes o los grados y lo obteníamos de:          

Veamos un ejemplo práctico:

24.1 Tenemos dos rectas:

Como ves, la primera en forma vectorial y la segunda en forma implícita.

Analizamos la primera, y comprobamos que conocemos las componentes del vector director  (primero de los dos vectores).Necesitamos el segundo vector director  que lo obtenemos del sistema:

Lo resolvemos dando a x el valor cero quedándonos:

Sustituimos este valor de y en la 1ª ecuación:

Hemos obtenido un punto:

Ahora le damos a  y el valor cero que realizando operaciones calculamos los valores de x y de z:

Obtenemos el punto al que llamamos Q:

La distancia  será el vector director cuyas componentes como lo hemos venido haciendo hasta ahora las obtenemos de:

Recuerda que O es el origen de los ejes de coordenadas en el espacio.

El cálculo del vector  lo podíamos haber hecho de otro modo más sencillo partiendo de la forma implícita de la recta s:

Las componentes de las normales son y  .). El producto vectorial de ambas nos dan las componentes del vector director, en este caso el valor de :

Conocemos las componentes de los vectores directores:

En: 

Sustituimos por los valores que acabamos de calcular:

Trabajos en la libreta

Trabajos en la libreta

1.- Concepto de linea

2.- Clasificacion de los triangulos por sus angulos

3.- Trazo de poligonos regulares utilizando la circunferencia y el trsnsportador.

4.- Cuadro sinoptico de los centros de un triangulo

El cero en las divisiones

Fuente:http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_por_cero 

En matemáticas, la división por cero es aquella división en la que el divisor es igual a cero. En aritmética y álgebra, es considerada una «indefinición» o «indeterminación» que puede originar paradojas matemáticas.

En los números naturales, enteros y reales, la división por cero no posee un valor definido, debido a que para todo número n, el producto n · 0 = 0, por lo que el 0 no tiene inverso multiplicativo. En otros cuerpos matemáticos, pueden existir divisores de cero, sin embargo, estos aparecen cuando el cero es el dividendo, no el divisor.

El problema surgió en los años 650, cuando en India se comenzó a popularizar el uso del cero y los números negativos. El primero en aproximarse al planteamiento de este problema fue el matemático indio Bhaskara I, quien escribió que , en el siglo XII.

En análisis matemático

Desde el punto de vista del análisis matemático, la indefinición de una división por cero puede solventarse mediante el concepto de límite. Supongamos que tenemos la siguiente expresión:

donde n es un número natural (distinto de cero y de infinito). Entonces, para calcular el valor de f(0), se puede utilizar una aproximación del límite, por la derecha:

o por la izquierda:

Cuando el valor de x «tiende» a cero, n/x alcanza un valor inmensamente grande (positivo o negativo).

Se suele expresar diciendo: cuando x «tiende» a cero, n/x se «aproxima» a infinito:

Sin embargo, aunque aparentemente aceptable en la práctica, esta solución puede generar paradojas matemáticas, conocidas como diferentes infinitos. Algunos intentos en análisis matemático por definir formalmente la división por cero son las extensiones a la recta de los reales y la esfera de Riemann (usada en la proyección estereográfica).

La expresión  es una indefinición. Sin embargo, cuando n = 0, obtenemos la expresión  que es una indeterminación.