Ángulos internos de los polígonos

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°

90° + 60° + 30° = 180°	80° + 70° + 30° = 180°
¡En este triángulo es verdad!	Vamos a inclinar una línea 10° ... También funciona, porque un ángulo aumentó 10°, pero otro disminuyó 10°

Cuadriláteros (cuadrados, etc.)

(Un cuadrilátero es una figura de 4 lados)

90° + 90° + 90° + 90° = 360°	80° + 100° + 90° + 90° = 360°
Un cuadrado suma 360°	Vamos a inclinar una línea 10° ... ¡también suman 360°!
Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360°

Porque en un cuadrado hay dos triángulos

Los ángulos interiores de este triángulo suman 180°  (90°+45°+45°=180°)

... y los de este cuadrado360° ... ¡porque el cuadrado está hecho de dos triángulos!

Pentágono

Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que ... ... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540° Y si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108° (Ejercicio: asegúrate de que cada triángulo aquí suma 180°, y comprueba que los ángulos interiores del pentágono suman 540°)

La regla general

Así que cada vez que añadimos un lado más (de triángulo a cuadrilátero, a pentágono, etc) sumamos otros 180°al total:

			Si es regular...
Figura	Lados	Suma de los ángulos interiores	Forma	Cada ángulo
Triángulo	3	180°		60°
Quadrilátero	4	360°		90°
Pentágono	5	540°		108°
Hexágono	6	720°		120°
...	...	..	...	...
Cualquier polígono	n	(n-2) × 180°		(n-2) × 180° / n

La última línea puede ser un poco difícil de entender, así que vamos a ver un ejemplo.

Ejemplo: ¿Qué pasa con un decágono (10 lados)?

Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440° Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°

Ángulos que se forman a partir de dos líneas que se cortan en un punto

ÁNGULO DE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

En la figura siguiente tienes que las rectas r y s se cruzan:

Para hallar el ángulo que forman las rectas r y s no tengo más que trazar en el plano de la base una paralela a la recta r:

Nos encontramos en el caso anterior.

El ángulo que forman las rectas r y s es el ángulo que forman sus vectores directores.

Tenemos los vectores directores  y  y las rectas r y s  : 

El ángulo que forman las rectas o los vectores directores vale α.

Cuando estudiamos vectores aprendimos que el valor del ángulo que forman dos vectores tiene un valor escalar, nos tiene que dar un valor numérico porque ha de proporcionarnos  un valor real como son los radianes o los grados y lo obteníamos de:          

Veamos un ejemplo práctico:

24.1 Tenemos dos rectas:

Como ves, la primera en forma vectorial y la segunda en forma implícita.

Analizamos la primera, y comprobamos que conocemos las componentes del vector director  (primero de los dos vectores).Necesitamos el segundo vector director  que lo obtenemos del sistema:

Lo resolvemos dando a x el valor cero quedándonos:

Sustituimos este valor de y en la 1ª ecuación:

Hemos obtenido un punto:

Ahora le damos a  y el valor cero que realizando operaciones calculamos los valores de x y de z:

Obtenemos el punto al que llamamos Q:

La distancia  será el vector director cuyas componentes como lo hemos venido haciendo hasta ahora las obtenemos de:

Recuerda que O es el origen de los ejes de coordenadas en el espacio.

El cálculo del vector  lo podíamos haber hecho de otro modo más sencillo partiendo de la forma implícita de la recta s:

Las componentes de las normales son y  .). El producto vectorial de ambas nos dan las componentes del vector director, en este caso el valor de :

Conocemos las componentes de los vectores directores:

En: 

Sustituimos por los valores que acabamos de calcular: